【xsinx是奇函数还是偶函数】在数学中，判断一个函数是奇函数还是偶函数，是研究其对称性的重要方法。奇函数和偶函数的定义如下：
- 偶函数：满足 $ f(-x) = f(x) $ 的函数。
- 奇函数：满足 $ f(-x) = -f(x) $ 的函数。
接下来我们以函数 $ f(x) = x \sin x $ 为例，分析它是奇函数还是偶函数。
函数 $ f(x) = x \sin x $ 是一个由两个基本函数相乘得到的复合函数。其中，$ x $ 是一个奇函数，而 $ \sin x $ 也是一个奇函数。根据奇函数与奇函数相乘的结果仍然是奇函数的性质，可以初步判断 $ f(x) = x \sin x $ 是一个奇函数。
为了验证这一结论，我们可以代入 $ -x $ 进行计算，看看是否符合奇函数的定义。
验证过程：
计算 $ f(-x) $：
$$
f(-x) = (-x) \cdot \sin(-x)
$$
由于 $ \sin(-x) = -\sin x $，因此：
$$
f(-x) = (-x)(-\sin x) = x \sin x = f(x)
$$
等式右边为 $ f(x) $，但根据奇函数的定义，应该是 $ -f(x) $。这里出现了矛盾，说明我们的初步判断有误。
再仔细分析：
$$
f(-x) = (-x)\sin(-x) = (-x)(-\sin x) = x \sin x = f(x)
$$
这实际上表明 $ f(-x) = f(x) $，即该函数满足偶函数的定义！
但这是错误的！因为正确的推导应为：
$$
f(-x) = (-x)\sin(-x) = (-x)(-\sin x) = x \sin x = f(x)
$$
这表示 $ f(-x) = f(x) $，所以 $ f(x) = x \sin x $ 是一个偶函数！
结论：
通过代入和运算可以得出，函数 $ f(x) = x \sin x $ 满足 $ f(-x) = f(x) $，因此它是一个偶函数。
表格总结：
| 函数名称 | 表达式 | 是否为偶函数 | 是否为奇函数 | 判断依据 |
| $ x \sin x $ | $ x \sin x $ | ✅ 是 | ❌ 否 | $ f(-x) = f(x) $ |
小结：
虽然 $ x $ 和 $ \sin x $ 都是奇函数，但它们的乘积 $ x \sin x $ 实际上是一个偶函数。这是因为奇函数与奇函数相乘的结果是偶函数，而偶函数的定义是 $ f(-x) = f(x) $。通过代入验证，我们确认了这一点。