【微积分公式】微积分是数学中非常重要的分支，广泛应用于物理、工程、经济学等多个领域。它主要研究函数的变化率和累积量，包括微分学和积分学两大部分。为了帮助读者更好地理解和掌握微积分的基本公式，本文将对常见的微积分公式进行总结，并以表格形式展示。
一、微分基本公式
微分是研究函数在某一点处的变化率，即导数的计算。以下是常见函数的导数公式：
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = c $（c为常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $ | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \log_a x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
二、积分基本公式
积分是微分的逆运算，用于求函数在某一区间上的累积值。以下是常见函数的不定积分公式：
| 函数表达式 | 不定积分 | ||
| $ f(x) = c $（c为常数） | $ \int c \, dx = cx + C $ | ||
| $ f(x) = x^n $（n ≠ -1） | $ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ | ||
| $ f(x) = \sin x $ | $ \int \sin x \, dx = -\cos x + C $ | ||
| $ f(x) = \cos x $ | $ \int \cos x \, dx = \sin x + C $ | ||
| $ f(x) = e^x $ | $ \int e^x \, dx = e^x + C $ | ||
| $ f(x) = \frac{1}{x} $ | $ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln | x | + C $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C $ | ||
| $ f(x) = \frac{1}{x^2 + a^2} $ | $ \int \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $ |
三、常用微积分法则
除了基本公式外，还有一些重要的微积分法则，用于处理更复杂的函数：
| 法则名称 | 公式 |
| 常数倍法则 | $ \int cf(x) \, dx = c \int f(x) \, dx $ |
| 加法法则 | $ \int [f(x) + g(x)] \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx $ |
| 分部积分法 | $ \int u \, dv = uv - \int v \, du $ |
| 换元积分法 | $ \int f(g(x))g'(x) \, dx = \int f(u) \, du $（令 $ u = g(x) $） |
| 牛顿-莱布尼茨公式 | $ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) $，其中 $ F'(x) = f(x) $ |
四、总结
微积分作为数学的重要工具，其核心在于理解导数与积分的关系以及它们的实际应用。掌握基本的微分和积分公式，有助于解决各种实际问题。通过上述表格，可以快速查阅不同函数的导数和积分形式，便于学习和应用。
在实际使用中，建议结合图形和实例来加深对公式的理解，避免单纯依赖记忆。同时，注意公式的适用条件，如幂函数积分中 $ n \neq -1 $ 的限制，避免出现错误。
如需进一步了解微积分的应用或进阶内容，可继续深入学习相关章节或参考专业教材。