【向量积的计算公式】向量积，也称为叉积（Cross Product），是向量运算中的一种重要形式，广泛应用于物理、工程和计算机图形学等领域。它主要用于计算两个向量之间的垂直方向上的“面积”或“力矩”，并能给出一个与原两向量垂直的新向量。
在三维空间中，向量积的定义如下：设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和向量 b = (b₁, b₂, b₃)，则它们的向量积 a × b 是一个新的向量，其方向垂直于 a 和 b 所在的平面，并遵循右手定则。
向量积的基本公式
向量积的计算公式为：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
$$
展开后可得：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
(a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
或者写成分量形式：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\left( a_2b_3 - a_3b_2, \quad a_3b_1 - a_1b_3, \quad a_1b_2 - a_2b_1 \right)
$$
向量积的性质总结
| 性质 | 描述 | ||||||
| 1. 方向 | 结果向量的方向垂直于原始两个向量所在的平面，符合右手定则。 | ||||||
| 2. 模长 | 向量积的模等于两个向量所形成的平行四边形的面积，即 $ | \mathbf{a} \times \mathbf{b} | = | \mathbf{a} | \mathbf{b} | \sin\theta $，其中 $ \theta $ 是两向量之间的夹角。 | |
| 3. 反交换性 | $ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a}) $ | ||||||
| 4. 分配律 | $ \mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c} $ | ||||||
| 5. 零向量 | 若两个向量共线（即夹角为0°或180°），则向量积为零向量。 |
示例计算
设向量 a = (1, 2, 3)，b = (4, 5, 6)，则：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
\end{vmatrix}
= (2 \cdot 6 - 3 \cdot 5)\mathbf{i} - (1 \cdot 6 - 3 \cdot 4)\mathbf{j} + (1 \cdot 5 - 2 \cdot 4)\mathbf{k}
$$
$$
= (12 - 15)\mathbf{i} - (6 - 12)\mathbf{j} + (5 - 8)\mathbf{k} = (-3, 6, -3)
$$
小结
向量积是向量运算中非常重要的工具，能够帮助我们确定两个向量之间的垂直关系及其大小。通过掌握其计算公式和基本性质，可以更高效地解决物理和工程中的实际问题。理解向量积的几何意义和代数表达方式，有助于在多个领域中灵活应用这一数学工具。