【利用泰勒公式求极限】在高等数学中，求极限是一个常见的问题。对于一些复杂的函数极限，直接代入或使用洛必达法则可能不够高效甚至无法解决。此时，泰勒公式成为一种强有力的工具。泰勒公式可以将一个函数展开为多项式形式，从而简化极限的计算过程。
一、泰勒公式的定义
泰勒公式是将一个可导函数在某一点附近用多项式近似表示的方法。其一般形式如下：
$$
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x)
$$
其中 $ R_n(x) $ 是余项，当 $ x \to a $ 时，若 $ R_n(x) \to 0 $，则称为泰勒展开式。
二、使用泰勒公式求极限的步骤
1. 确定展开点：通常选择极限中变量趋于的点（如 $ x \to 0 $）作为展开点。
2. 选择合适的展开阶数：根据极限的形式，适当选择展开的阶数，以确保能够正确判断极限。
3. 展开函数：将原函数用泰勒公式展开为多项式形式。
4. 化简表达式：将多项式代入极限表达式中，进行约简。
5. 计算极限：对化简后的表达式求极限。
三、常见函数的泰勒展开（在 $ x=0 $ 处）
| 函数 | 泰勒展开式（至 $ x^5 $ 阶） |
| $ e^x $ | $ 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots $ |
| $ \sin x $ | $ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots $ |
| $ \cos x $ | $ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots $ |
| $ \ln(1+x) $ | $ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots $ |
| $ (1+x)^k $ | $ 1 + kx + \frac{k(k-1)}{2!}x^2 + \cdots $ |
四、例题解析
例1： 求极限
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}
$$
解法：
利用 $ \sin x $ 的泰勒展开式：
$$
\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)
$$
代入极限表达式：
$$
\frac{\sin x - x}{x^3} = \frac{-\frac{x^3}{6} + o(x^3)}{x^3} = -\frac{1}{6} + o(1)
$$
因此，极限为：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} = -\frac{1}{6}
$$
五、总结
| 方法 | 适用场景 | 优点 | 缺点 |
| 泰勒公式 | 复杂函数极限 | 精确、直观 | 需要掌握展开式 |
| 洛必达法则 | 0/0 或 ∞/∞ 型 | 简单易用 | 可能需要多次应用 |
| 等价无穷小替换 | 简单函数极限 | 快速有效 | 依赖记忆和经验 |
六、结语
泰勒公式是求解复杂极限问题的重要工具，尤其在处理含有三角函数、指数函数或对数函数的极限时表现尤为出色。掌握其展开方法和应用技巧，有助于提升解题效率与准确性。建议在学习过程中多加练习，熟悉各类函数的泰勒展开形式。