【常用反常积分有哪些】在数学分析中，反常积分（也称为广义积分）是普通定积分的推广，用于处理积分区间无限或被积函数在积分区间内存在不连续点的情况。常见的反常积分主要包括两类：无穷区间上的反常积分和无界函数的反常积分。以下是对这些常见反常积分的总结。
一、无穷区间上的反常积分
这类积分的积分区间为无限区间，例如 $[a, +\infty)$ 或 $(-\infty, b]$，或者 $(-\infty, +\infty)$。
| 积分形式 | 定义方式 | 收敛条件 |
| $\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ | $\lim_{b \to +\infty} \int_a^b f(x) \, dx$ | 若极限存在，则收敛 |
| $\int_{-\infty}^b f(x) \, dx$ | $\lim_{a \to -\infty} \int_a^b f(x) \, dx$ | 若极限存在，则收敛 |
| $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx$ | $\lim_{a \to -\infty} \int_a^c f(x) \, dx + \lim_{b \to +\infty} \int_c^b f(x) \, dx$ | 两个极限都存在时才收敛 |
常见例子：
- $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} \, dx$，当 $p > 1$ 时收敛，否则发散。
- $\int_0^{+\infty} e^{-x} \, dx = 1$
- $\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx = \frac{\pi}{2}$
二、无界函数的反常积分
这类积分的被积函数在积分区间内有无穷间断点，例如在某一点处趋于无穷。
| 积分形式 | 定义方式 | 收敛条件 |
| $\int_a^b f(x) \, dx$，其中 $f(x)$ 在 $x = c \in (a, b)$ 处无界 | $\lim_{t \to c^-} \int_a^t f(x) \, dx + \lim_{t \to c^+} \int_t^b f(x) \, dx$ | 两个极限都存在时才收敛 |
| $\int_a^b f(x) \, dx$，其中 $f(x)$ 在 $x = a$ 处无界 | $\lim_{t \to a^+} \int_t^b f(x) \, dx$ | 若极限存在，则收敛 |
| $\int_a^b f(x) \, dx$，其中 $f(x)$ 在 $x = b$ 处无界 | $\lim_{t \to b^-} \int_a^t f(x) \, dx$ | 若极限存在，则收敛 |
常见例子：
- $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = 2$
- $\int_0^1 \frac{1}{x^p} \, dx$，当 $p < 1$ 时收敛，否则发散
- $\int_0^1 \ln x \, dx = -1$
三、其他常见反常积分类型
| 类型 | 举例 | 收敛性 |
| 振荡型反常积分 | $\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx$ | 收敛 |
| 含参数的反常积分 | $\int_0^{+\infty} e^{-xt} \sin x \, dx$ | 与参数有关，需具体分析 |
| 对称区间的反常积分 | $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \pi$ | 收敛 |
四、总结
反常积分是数学分析中的重要工具，广泛应用于物理、工程和概率论等领域。根据积分区间的不同，可分为无穷区间上的反常积分和无界函数的反常积分。判断其收敛性通常需要通过极限来分析。掌握这些常见反常积分的形式及其收敛条件，有助于更深入地理解积分理论和实际应用。
附表：常用反常积分汇总
| 积分类型 | 表达式 | 收敛条件 | 典型结果 |
| 无穷区间 | $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx$ | $p > 1$ | 收敛 |
| 无穷区间 | $\int_0^{+\infty} e^{-x} dx$ | — | $1$ |
| 无穷区间 | $\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} dx$ | — | $\frac{\pi}{2}$ |
| 无界函数 | $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ | — | $2$ |
| 无界函数 | $\int_0^1 \frac{1}{x^p} dx$ | $p < 1$ | 收敛 |
| 无界函数 | $\int_0^1 \ln x dx$ | — | $-1$ |