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sin75

2025-07-08 03:06:51

问题描述:

sin75,卡到崩溃,求给个解决方法!

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2025-07-08 03:06:51

sin75】在三角函数中,sin75° 是一个常见的角度值,虽然它不是标准角(如30°、45°、60°等),但可以通过三角恒等式进行计算。sin75° 可以表示为 sin(45° + 30°),利用和角公式可以得出其精确值。

一、sin75° 的计算方法

根据三角函数的和角公式:

$$

\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B

$$

将 A = 45°,B = 30° 代入得:

$$

\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ

$$

已知:

- $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

- $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

- $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

- $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

代入计算:

$$

\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

$$

因此,$\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

二、sin75° 的数值近似值

使用计算器或数学软件可得:

$$

\sin 75^\circ \approx 0.9659

$$

三、常见角度的正弦值对比表

角度 (°) 正弦值 (sinθ)
0 0
30 0.5
45 $\frac{\sqrt{2}}{2}$
60 $\frac{\sqrt{3}}{2}$
75 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ ≈ 0.9659
90 1

四、总结

sin75° 是一个非标准角度,但通过三角函数的和角公式可以准确计算出其值。它的精确表达式为 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$,近似值约为 0.9659。在实际应用中,如工程、物理和数学计算中,了解这些角度的正弦值有助于提高计算效率与准确性。

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