【arccosxdx的积分怎么求】在微积分的学习中，不定积分是一个重要内容。其中，对反三角函数的积分往往需要借助分部积分法来解决。今天我们就来详细讲解一下“arccos x dx”的积分方法，并通过总结和表格的形式帮助大家更好地理解和记忆。
一、积分思路
对于积分 ∫ arccos x dx，由于被积函数是反三角函数，无法直接使用基本积分公式，因此我们需要使用分部积分法（Integration by Parts）：
分部积分公式为：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
我们设：
- $ u = \arccos x $
- $ dv = dx $
那么：
- $ du = \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}} dx $
- $ v = x $
代入公式得：
$$
\int \arccos x \, dx = x \arccos x - \int x \cdot \left( \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}} \right) dx
$$
$$
= x \arccos x + \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx
$$
接下来，我们对剩下的积分进行计算。
二、剩余积分的求解
考虑：
$$
\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx
$$
令 $ t = 1 - x^2 $，则 $ dt = -2x dx $，即 $ x dx = -\frac{1}{2} dt $，代入得：
$$
\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{t}} dt = -\frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{t} + C = -\sqrt{t} + C = -\sqrt{1 - x^2} + C
$$
三、最终结果
将上述结果代回原式：
$$
\int \arccos x \, dx = x \arccos x - \sqrt{1 - x^2} + C
$$
四、总结与表格
| 积分表达式 | 方法 | 结果 |
| ∫ arccos x dx | 分部积分法 + 换元法 | $ x \arccos x - \sqrt{1 - x^2} + C $ |
五、注意事项
- 在使用分部积分时，选择合适的 $ u $ 和 $ dv $ 是关键。
- 对于反三角函数的积分，通常需要结合换元法或导数公式来处理。
- 最终结果中要记得加上常数 $ C $，因为这是不定积分的特征。
通过以上步骤，我们可以清晰地看到“arccos x dx”的积分过程。希望这篇文章能帮助你更好地掌握这一类积分的解题技巧！